Vektor : Pengertian, Materi, Rumus dan Contoh Soal – Apakah yang di maksud dengan Vektor dalam operasi matematika ?Pada kesempatan kali ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas Vektor dan hal-hal lain tentangnya. Mari kita simak pembahasannya pada artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.
Vektor : Pengertian, Materi, Rumus dan Contoh Soal
Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti atau
atau juga:
Pada tahun 1827 Mobius mempublikasikan Der Barycentrische Calcul, sebuah buku geometri yang mengkaji transformasi garis dan irisan kerucut. Fitur baru dalam hasil karya ini adalah pengenalan koordinat barycentric. Diberikan sembarang segitiga ABC maka jika garis berat a, b, dan c berturut-turut dilukis pada A, B, dan C maka dapat ditentukan sebuah titik P, yaitu titik berat segitiga.
Mobius memperlihatkan bahwa setiap titik P pada bidang datar ditentukan oleh koordinat homogen [a,b,c]. Garis – garis berat yang diperlukan diletakkan pada A,B, dan C untuk menentukan titik berat P. Yang terpenting disini adalah pandangan Mobius tentang besaran berarah, sebuah pemunculan awal mengenai konsep vektor.
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .
Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah.
Penulisan nama vektor :
- dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor AB ⃗
- adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B.
- sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh a̅
Sebagai Contoh
Misalkan vektor merupakan vektor yang berawal dari titik
menuju titik
dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah
dan panjang garis sejajar sumbu y adalah
merupakan komponen-komponen vektor
.
Komponen vektor dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:
atau
Jenis-jenis Vektor
Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:
- Vektor Posisi
Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A - Vektor Nol
Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan. Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
- Vektor satuan
Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dariadalah:
- Vektor basis
Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensimemiliki dua vektor basis yaitu
dan
. Sedangkan dalam tiga dimensi
memiliki tiga vektor basis yaitu
,
, dan
.
Vektor di R^2
Panjang segmen garis yang menyatakan vektor atau dinotasikan sebagai
Panjang vektor sebagai:
Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.
Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis dan
berikut:
Operasi Vektor di R^2
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika dan
maka:
Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:
Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:
Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:
Perkalian vektor di R^2 dengan skalar
Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Dengan ketentuan:
- Jika k > 0, maka vektor
searah dengan vektor
- Jika k < 0, maka vektor
berlawanan arah dengan vektor
- Jika k = 0, maka vektor
adalah vektor identitas
Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:
Secara aljabar perkalian vektor dengan skalar k dapat dirumuskan:
Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2
Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:
(dibaca : a dot b)
Perkalaian skalar vektor dan
dilakukan dengan mengalikan panjang vektor
dan panjang vektor
dengan cosinus
. Sudut
yang merupakan sudut antara vektor
dan vektor
.
Sehingga:
Dimana:
Perhatikan bahwa:
- Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
Vektor di R^3
Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik
dan titik
maka jarak AB adalah:
Atau jika , maka
Vektor dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom
atau dalam baris
. Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis
dan
dan
berikut:
Operasi Vektor di R^3
Operasi vektor di secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di
dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3
Penjumlahan dan pengurangan vektor di sama dengan vektor di
yaitu:
Dan
Perkalian vektor di R^3 dengan skalar
Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Hasil kali skalar dua vektor di R^3
Selain rumus di , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika
dan
maka
adalah:
Proyeksi Orthogonal vektor
Jika vektor diproyeksikan ke vektor
dan diberi nama
seperti gambar dibawah:
Diketahui:
Sehingga:
atau
Untuk mendapat vektornya:
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.
Pembahasan 1:
Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor dan vektor
bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan
Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:
sehingga:
Maka kelipatan m dalam persamaan:
Diperoleh:
disimpulkan:
p+q=10+14=24
Soal 2
Diketahui ada titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Apabila titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q !
Penyelesaian :
Jika titik – titik A, B, dan C segaris maka vektor dan vektor
bisa juga searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan bisa membentuk persamaan berikut ini :
Jika B berada diantara titik A dan C, maka akan diperoleh :
Sehingga Dapat Diperoleh :
Maka kelipatan m dalam persamaan :
Diperoleh :
Jadi, dapat disimpulkan :
p + q = 10 + 14 = 24
Inilah pembahasan lengkap tentang cara menghitung rumus vekt
Soal 3
Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.
Pembahasan 2:
Dari gambar dapat diketahui bahwa:
sehingga
Sehingga:
Soal 4
Misalkan vektor dan vektor
. Jika panjang proyeksi vektor a ̅
pada
adalah 4. Maka tentukan nilai y.
Pembahasan 3:
Diketahui:
Maka:
12=8+2y
y=2
Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Vektor ,semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya
Daftar Isi