Rumus Deret Aritmatika, Barisan, Bentuk, Contoh Soal & Jawaban – Pada kesempatan ini Seputar Pengetahuan akan membahas tentang Deret Aritmatika. Yang mana dalam pembahasan kali ini menjelaskan berbagai macam persoalan mengenai Rumus deret aritmatika. Untuk lebih jelasnya yuk simak ulasan berikut ini.
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan
Pengertian Aritmatika
Aritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung. Aritmatika merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap.
Rumusan Barisan Aritmatika
Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut:
U1, U2, U3, ….Un
a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b
Selisih (beda) dinyatakan dengan b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1
Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus:
Un = a + (n-1) b
Keterangan :
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama → U1 = a
b = selisih/beda
(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…
Bentuk Barisan Aritmatika
Dalam hal ini perlu diperhatikan beberapa keterangan rumus bentuk barisan aritmatika sebagai berikut:
a, (a+b), (a+2b), (a+3b), ….., (a+(n-1)b)
Rumus:
b = Un – Un-1
Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b
Atau
Un = Sn – Sn-1
Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n
Contoh Barisan Aritmatika
Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah…
Penyelesaian:
a = 3
b = 4
Un = a + (n-1) b
U10 = 3 + (10-1)4
= 3 + 36
= 39
Contoh Soal Barisan Aritmatika
Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, …
Jawab:
n = 15
b = 6-2 = 10 – 6 = 4
U1 = a = 2
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1)4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58
Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika
Jika U1 = a, U2, U3,…, Un,… merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
U1 = a
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
?
Un = a + (n-1)b
Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:
Un = a + (n-1)b
Contoh Soal 1
Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian:
Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n-1)b, diperoleh
U2 = a + (2-1)b
U2 = a + b
a = U2 – b
= 10 – 2
= 8.
U7 = a + (7-1) b
= a + 6 b
= 8 + 6 (2)
= 8 + 12
= 20.
Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
Contoh Soal 2
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005?
Penyelesaian:
Misalkan:
a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.
P 2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.
Jadi ditentukan rumus, a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 yang akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap. Maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005. Kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan
U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.
Jadi, perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 8.500.000,-. Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.
Contoh Soal 3
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.
Penyelesaian:
Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.
Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n. Dengan menggunakan rumus:
Un = a + (n – 1) b
99 = 51 + (n – 1)(2)
99 = 51 + 2n – 2
99 = 49 + 2n
2n = 99 – 49
n = 25.
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,
Sn =
1
2
n[2a + (n -1)b]
diperoleh:
S25 =
1
2
(25)[2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24)
= 25(75)
= 1.875.
Jadi hasilnya jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.
Kata Tugas : Pengertian, Ciri, Jenis dan Contohnya Kata Tugas : Pengertian, Ciri, Jenis dan Contohnya - Pada pembahasan kali ini kami akan menjelaskan tentang Kata Tugas. Meliputi pengertian, ciri-ciri, jenis-jenis dan contoh dengan penjelasan lengkap dan mudah dipahami.…
Macam Macam Bilangan : Pengertian dan Contohnya Macam Macam Bilangan : Pengertian dan Contohnya - Apakah bilangan itu? Bilangan merupakan kumpulan angka yang mendiami urutan.Pada kesempatan kali kita akan membahas macam macam dan contohnya.Mari kita simak agar lebih…
Ragam Hias Flora : Pengertian, Tujuan, Media dan Contohnya Ragam Hias Flora : Pengertian, Tujuan, Media dan Contohnya - Apakah yang dimaksud dengan ragam hias flora ?,Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahasnya, meliputi tujuan,contoh dan tentunya hal-hal lain yang…
Turunan Fungsi Aljabar : Rumus, Aplikasi, Notasi, Perkalian… Turunan Fungsi Aljabar : Rumus, Aplikasi, Notasi, Perkalian Pembagian Dua Fungsi dan Contoh Soal - Apakah kamu mengerti apa yang di maksud dengan Turunan Fungsi Aljabar ? Pada kesempatan kali…
Vektor : Pengertian, Materi, Rumus dan Contoh Soal Vektor : Pengertian, Materi, Rumus dan Contoh Soal - Apakah yang di maksud dengan Vektor dalam operasi matematika ?Pada kesempatan kali ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas Vektor dan hal-hal lain tentangnya.…
Kata Pengantar : Pengertian, Struktur dan Contohnya Kata Pengantar : Pengertian, Struktur dan Contohnya - Bagaimana cara menulis Kata Pengantar yang baik ?Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas apakah itu Kata Pengantar dan hal lain tentangnyanya.Mari kita simak…
Materi Pramuka Siaga : Tingkatan, Kode Kehormatan dan Syarat… Materi Pramuka Siaga : Tingkatan, Kode Kehormatan dan Syarat Kecakapan Umum - Apa saja materi untuk pramuka tingkat siaga ? Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahasnya, meliputi tingkatan pramuka siaga,…
Pengertian Novel : Ciri, Struktur, Unsur dan Jenis Novel Pengertian Novel : Ciri, Struktur, Unsur dan Jenis Novel - Apa itu Novel?Novel merupakan sebuah karya sastra yang berbentuk prosa dengan narasi yang panjang menceritakan tentang kehidupan dan karakter.Pada kali ini…
17 Pengertian Statistik Menurut Para Ahli (Pembahasan… 17 Pengertian Statistik Menurut Para Ahli (Pembahasan Lengkap) - Statistik merupakan salah satu ilmu yang sangat penting untuk dipelajari agar dapat memudahkan seseorang dalam membuat suatu penelitian, observasi ataupun riset yang…
√ Pengertian Diksi, Fungsi, Ciri, Jenis, Manfaat dan… Pengertian Diksi, Fungsi, Ciri, Jenis, Manfaat dan Contohnya – Pada kesempatan ini Seputar Pengetahuan akan membahas tentang Pengertian Diksi. Yang mana dalam pembahasan kali ini menjelaskan pengertian diksi, fungsi, ciri,…
Integral Tak Tentu : Pengertian, Rumus, Sifat dan Contoh… Integral Tak Tentu : Pengertian, Rumus, Sifat dan Contoh Soal - Apa yang di maksud dengan Integral Tak Tentu dan bagaimana Cara perhitungan Operasi matematikanya ?Pada kali ini Seputarpengetahuan.co.id akan…
Pencak Silat : Pengertian, Sejarah, Ciri, Tujuan, Teknik,… Pencak Silat : Pengertian, Sejarah, Ciri, Tujuan, Teknik, dan Tingkatannya - Adakah yang belum tahu apa itu Pencak Silat ?Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas tentang Pencak Silat dan hal-hal lain…
√ Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) & Contoh… Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) & Contoh Soalnya - Pada pembahasan kali ini kami akan menjelaskan tentang persamaan linear satu variabel. Yang meliputi pengertian pengertian persamaan linear satu variabel dan…
Cerpen Motivasi : Pengertian, Tips Menulis dan Contohnya Cerpen Motivasi : Pengertian, Tips Menulis dan Contohnya - Cerpen Motivasi itu seperti apa?, Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas apakah itu Cerpen Persahabatan dan hal-hal lain tentangnya.Mari kita simak…
Bilangan Romawi : Sejarah, Angka Dasar, Cara Menulis, Rumus… Bilangan Romawi : Sejarah, Angka Dasar, Cara Menulis, Rumus dan Kekurangannya - Apakah Kau tahu apa itu bilangan romawi dan bagaimana cara membacanya ?,Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahasnya, meliputi…
√ Pengertian Kata Keterangan, Ciri, Jenis dan Contohnya… Pengertian Kata Keterangan, Ciri, Jenis dan Contohnya (Lengkap) - Pada pembahasan kali ini kami akan menjelaskan tentang kata keterangan. Yang meliputi pengertian, ciri-ciri, jenis kata dan contohnya dengan pembahasan lengkap dan…
35 Pengertian Negara Menurut Para Ahli dan Unsurnya… 35 Pengertian Negara Menurut Para Ahli dan Unsurnya (Lengkap) - Ada yang suka dengan olahraga? Salah satu jenis olahraga yang mendunia adalah sepakbola, dan salah satu ajang bergengsi olahraga tersebut adalah Piala…
Pola Aliran Sungai : Pengertian, Jenis dan Bentuknya Pola Aliran Sungai : Pengertian, Jenis dan Bentuknya - Apakah itu pola aliran sungai ?, Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahasnya dan tentunya hal-hal lain yang juga melingkupinya.Mari kita simak…
Konjungsi : Pengertian, Fungsi, Macam dan Contohnya Konjungsi : Pengertian, Fungsi, Macam dan Contohnya - Pada pembahasan kali ini kami akan menjelaskan tentang Konjungsi. Penjelasan yang meliputi pengertian konjungsi, macam atau jenis konjungsi, fungsi konjungsi dan contoh konjungsi…
Bilangan Bulat adalah : Pengertian dan Macamnya Bilangan Bulat adalah : Pengertian dan Macamnya - Bagi kebanyakan orang matematika adalah salah satu mata pelajaran yang tidak disukai, karena menurut mereka matematika membuat pusing dan sulit dengan rumus dan…
Aritmatika Sosial : Nilai Keseluruhan, Teori dan Rumus serta… Aritmatika Sosial : Nilai Keseluruhan, Teori dan Rumus serta Contoh Soalnya - Apakah kalian sudah mengerti apa yang di maksud dengan aritmatika sosial ?Pada kesempatan kali ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas…
Gambar Mikroskop : Pengertian, Sejarah, Jenis, Bagian, Cara… Gambar Mikroskop : Pengertian, Sejarah, Jenis, Bagian, Cara Kerja dan Perawatan Mikroskop - Seberapa dekatkah dirimu mengenali bentuk dan fungsi dari Mikroskop ?Pada kali ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas tentang Mikroskop…
Phytagoras : Sejarah, Rumus Teorema dan Contoh Soal Phytagoras : Sejarah, Rumus Teorema dan Contoh Soal - Siapa itu Phytagoras dengan Teoremanya ?Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas apakah itu Phytagoras dengan rumus dan contoh soalnya. Mari kita…
Pola Bilangan: Pengertian serta Jenis- Jenis Pola Bilangan Pola Bilangan: Pengertian serta Jenis- Jenis Pola Bilangan – Apa yang dimaksud dengan Pola Bilangan? Pada kesempatan kali ini kita hendak mengulasnya apa itu pengertian pola bilangan beserta jenis serta…
39 Pengertian Budaya Menurut Para Ahli 39 Pengertian Budaya Menurut Para Ahli - Kali ini kami akan membahas tentang culture atau budaya. Ya, kita juga sudah sering mendengar kata budaya tersebut. Negara kita dengan semua propinsi yang ada…
√ Pengertian Semantik Menurut Para Ahli, Unsur & Jenisnya… Pengertian Semantik Menurut Para Ahli, Unsur & Jenisnya Lengkap - Di pembahasan kali ini kami akan menjelaskan tentang Semantik. Yang meliputi pengertian, unsur, jenis-jenis semantik dengan pembahasan lengkap dan mudah dipahami.…
Morfem Adalah : Klasifikasi, Morf dan Alomorf serta… Morfem Adalah : Klasifikasi, Morf dan Alomorf serta Contohnya - Apakah itu yang dimaksud dengan morfem?, Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahasnya dan tentunya tentang hal lain yang juga melingkupinya.Mari…
Bilangan Pecahan : Pengertian dan Jenisnya Bilangan Pecahan : Pengertian dan Jenisnya – Disini kita akan membahas salah satu mata pelajaran yang katanya sulit. Mata pelajaran tersebut ialah matematika, untuk sebagian orang mengatakan demikian. Didalam matematika…
√ Sejarah Suku minangkabau, Asal Usul dan Karakteristiknya Sejarah Suku minangkabau, Asal Usul dan Karakteristiknya - Pada kesempatan ini Seputar Pengetahuan akan membahas tentang Suku Minangkabau. Yang mana dalam pembahasn kali ini menjelaskan sejarah suku minangkabau, asal usul…
√ Fungsi Bahasa dan Hakikatnya Sebagai Komunikasi… Fungsi Bahasa dan Hakikatnya Sebagai Komunikasi Bilingualisme - Bahasa merupakan alat komunikasi atau alat interaksi yang hanya dimiliki manusia. Jika dilihat dari teori-teori linguistik tentang kajian bahasa, maka akan diperoleh…
