Rumus Deret Aritmatika, Barisan, Bentuk, Contoh Soal & Jawaban – Pada kesempatan ini Seputar Pengetahuan akan membahas tentang Deret Aritmatika. Yang mana dalam pembahasan kali ini menjelaskan berbagai macam persoalan mengenai Rumus deret aritmatika. Untuk lebih jelasnya yuk simak ulasan berikut ini.
Rumus Deret Aritmatika, Barisan, Bentuk, Contoh Soal & Jawaban
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan
Pengertian Aritmatika
Aritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung. Aritmatika merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap.
Rumusan Barisan Aritmatika
Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut:
U1, U2, U3, ….Un
a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b
Selisih (beda) dinyatakan dengan b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1
Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus:
Un = a + (n-1) b
Keterangan :
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama → U1 = a
b = selisih/beda
(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…
Bentuk Barisan Aritmatika
Dalam hal ini perlu diperhatikan beberapa keterangan rumus bentuk barisan aritmatika sebagai berikut:
a, (a+b), (a+2b), (a+3b), ….., (a+(n-1)b)
Rumus:
b = Un – Un-1
Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b
Atau
Un = Sn – Sn-1
Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n
Contoh Barisan Aritmatika
Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah…
Penyelesaian:
a = 3
b = 4
Un = a + (n-1) b
U10 = 3 + (10-1)4
= 3 + 36
= 39
Contoh Soal Barisan Aritmatika
Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, …
Jawab:
n = 15
b = 6-2 = 10 – 6 = 4
U1 = a = 2
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1)4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58
Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika
Jika U1 = a, U2, U3,…, Un,… merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
U1 = a
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
?
Un = a + (n-1)b
Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:
Un = a + (n-1)b
Contoh Soal 1
Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian:
Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n-1)b, diperoleh
U2 = a + (2-1)b
U2 = a + b
a = U2 – b
= 10 – 2
= 8.
U7 = a + (7-1) b
= a + 6 b
= 8 + 6 (2)
= 8 + 12
= 20.
Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
Contoh Soal 2
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005?
Penyelesaian:
Misalkan:
a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.
P 2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.
Jadi ditentukan rumus, a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 yang akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap. Maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005. Kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan
U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.
Jadi, perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 8.500.000,-. Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.
Contoh Soal 3
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.
Penyelesaian:
Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.
Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n. Dengan menggunakan rumus:
Un = a + (n – 1) b
99 = 51 + (n – 1)(2)
99 = 51 + 2n – 2
99 = 49 + 2n
2n = 99 – 49
n = 25.
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,
Sn =
1
2
n[2a + (n -1)b]
diperoleh:
S25 =
1
2
(25)[2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24)
= 25(75)
= 1.875.
Jadi hasilnya jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.
Demikian penjelasan kita kali ini tentang Rumus Deret Aritmatika, Barisan, Bentuk, Contoh Soal & Jawaban. Semoga dapat bermanfaat dan menambah ilmu pengetahuan untuk kita semua.
Daftar Isi
