Persamaan Logaritma : Rumus, Sifat, Contoh Soal Dan Pembahasannya

Persamaan Logaritma : Rumus, Sifat, Contoh Soal Dan Pembahasannya – Apakah itu Persamaan Logaritma dan contoh soalnya?, Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahasnya dan tentunya tentang hal lain yang juga melingkupinya.Mari kita simak bersama pembahasannya pada artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.


Persamaan Logaritma : Rumus, Sifat, Contoh Soal Dan Pembahasannya


Logaritma yaitu sebuah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.Ditinjau dari asal usul kata-katanya, kata Algoritma mempunyai sejarah yang agak aneh. Orang hanya menemukan kata Algorism yang berarti proses menghitung dengan angka Arab.

Persamaan logaritma yaitu suatu persamaan yang peubahnya merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.Logaritma juga bisa diartikan sebagai operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

Seseorang dikatakan ”Algorist” jika menghitung menggunakan angka Arab. Para ahli bahasa berusaha menemukan asal kata ini namun hasilnya kurang memuaskan. Akhirnya para ahli sejarah matematika menemukan asal kata tersebut yang berasal dari nama penulis buku Arab terkenal, yaitu Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa Al-Khuwarrismi dibaca oleh orang barat menjadi Algorism.

Penemu adalah seorang ahli matematika dari uzbeskitan yang bernama Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa Al-Khwarizmi.Diliteratur barat, beliau lebih terkenal dangan sebutan Algorism. Panggilan inilah yang kemudian dipakai untuk menyebut konsep algoritma yang ditemukannya.

Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa Al-Khuwarizmi (770-840) lahir di Khawarizm (Kheva), kota di selatan sungai Oxus (sekarang Uzbekistan) tahun 770 M. Kedua orangtuanya kemudian pindah kesebuah tempat diselatan kota Bagdad (Irak), ketika masih kecil.

Sebuah karya yang menggunakan angka india, yang pertama kalinya diterjemahkan dan digunakan di barat berjudul al-jam’ wa’l-tafriq bi hisab al-hind(Addition and Substraction in Indian Arithmetics).Buku tersebut merupakan karya gemulang dari matematikawan muslim Muhammad ibn Musa Al-Khwarismi(780-850M).

John Napier adalah ahli matematika berkebangsaan Inggris, lahir di Merchiston Castle Eidenburg. Napier menyelesaikan sekolah di perancis pada usia 13 tahun, kemudian ia melanjutkan ke Universitas St. Andrews di Scotland.

Ditahun 1612 M, ia menemukan sebuah sistem yang diberi nama “logaritma” yang berasal dari nama khawarizmi itu. Sekarang temuannya itu, lebih dikenal dengan nama logaritma Napier (Napierian Logarithms).

Napier pernah membuat table yang diukir pada gading yang mirip tulang. Lalu, mereka menamainya dengan tulang Napier (Napier’s Bones).

Ketika buku Napier tentang logaritma diterbitkan pada tahun 1614, hal ini amat mengagumkan para ilmuwan sebagaimana ditemukannya kalkulator di zaman modern.

Dengan bantuan logaritma mereka dapat mengerjakan perkalia dan pembagian yang sulit dengan cara cepat dan mudah untuk pertama kalinya. Napier menghabiskan hidupnya mengutak-atik matematika.

Ia meninggal pada tahun 1617 pada usia 67 tahun da dimakamkan di Edinburgh. (Johanes,dkk: 33).

Oleh karena melihat bilangan basis yang digunakan dalam logaritma  waktu itu kurang menyenagkan, maka Henry Briggs (matematikawan Inggris) membuat table umum logaritma (The Table of Common Logarithms) dengan bilangan basis 10 segera setelah itu.


Rumus Logaritma

ac = b → ª log b = c

Baca Juga:  Contoh Bangun Datar : Jenis, Sifat dan Rumus Bangun Datar

Keterangan:

a = basis
b = bilangan dilogaritma
c = hasil logaritma


Sifat Logaritma

ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a

Sifat – Sifat Persamaan Logaritma

Logaritma juga memiliki sifat – sifat tertentu, yaitu sebagai berikut :

  • Sifat Logaritma Dari Perkalian :

Suatu logaritma yaitu merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal.

alog p. q = alog p + alog q

Dengan syaratnya yaitu = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.


  • Perkalian Logaritma :

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkaliannya tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b.

alog b x blog c = alog c

Dengan syaratnya yaitu = a > 0, a \ne 1.


  • Sifat Logaritma Dari Pembagian :

Suatu logaritma yaitu merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya adalah pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal.

alog p/q = alog p – alog q

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.


  • Sifat Logaritma Berbanding Terbalik :

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran.

alog b = 1/blog a

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1.


  • Logaritma Berlawanan Tanda :

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya yaitu merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal.

alog p/q = – alog p/q

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.


  • Sifat Logaritma Dari Perpangkatan :

Suatu logaritma yaitu dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dan dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali.

alog bp = p. alog b

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, b > 0


  • Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma :

Suatu logaritma yaitu dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) yang dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi.

aplog b = 1/palog b

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1.


  • Bilangan Pokok Logaritma Sebanding Dengan Perpangkatan Numerus :

Suatu logaritma yaitu dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya yang memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut.

alog ap = p

Dengan syaratnya adalah = a > 0 dan a \ne 1.

  • Perpangkatan Logaritma :

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai yang numerusnya dari logaritma tersebut.

a alog m = m

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, m > 0.


  • Mengubah Basis Logaritma :

Suatu logaritma juga dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma.

plog q = alog p/a log q

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0


Contoh Logaritma

Logaritma juga memiliki contoh – contoh bilangan tersendiri, yaitu sebagai berikut :

persamaan logaritma


Contoh Soal Persamaan Logaritma


Soal 1

Diketahui logaritma 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah….

Penyelesaian :

Soal 2

1. Nilai dari 2log 4 + 2log 12 – 2log 6 =…


  1. 8
  2. 6
  3. 5
  4. 4
  5. 3

Pembahasan :

Untuk soal seperti di atas, maka kita perlu mengingat sifat logaritma

alog(b.c) = alog b + alog c, dan

alog  = alog b – alog c

sehingga, untuk menyelesaikan soal di atas, kita gunakan kedua sifat logaritma tersebut. Dimana perhitungannya akan menjadi :

2log 4 + 2log 12 – 2log 6           = 2log

= 2log 8

Kemudian, untuk penyelesaian akhir, kita perlu mengingat sifat berikutnya, yaitu :

alog  = n .  alog b

→ 8 =

sehingga, penyelesaian akhirnya akan menjadi seperti berikut ini :

2log 8   = 2log

= 3 . 2log 2       → jangan lupa dengan yang ini : alog a = 1

= 3 . 1

= 3       ( E )

Persamaan Logaritma : Rumus, Sifat, Contoh Soal Dan Pembahasannya


Soal 3

Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010, maka nilai dari log 75 =…


  1. 0,7781
  2. 0,9209
  3. 1,0791
  4. 1,2552
  5. 1,8751

Pembahasan :

Untuk soal yang modelnya begini ini, ada kunci pengerjaannya yang harus kita paham. Yaitu adalah keterangan yang menunjukkan nilai log 2 dan log 3. Dengan adanya keterangan tambahan tersebut, berarti yang harus ada di pikiran kita adalah bagaimana mengubah bentuk log 75 menjadi bentuk logaritma yang mengandung unsur bilangan 2 dan 3.


→ 75 = 3 . 25 = 3 .

Sehingga, bila kita ubah bilangan 75 tersebut dengan 3.  , maka akan kita dapatkan :


log 75   = log ( 3 .  ) → dengan ini, kita harus ingat sifat : alog(b.c) = alog b + alog c

= log 3 + log  → jangan lupa bahwa : alog  = n .  alog b

= log 3 + 2 . log 5


Maksudnya adalah dengan mengubah bilangan 5 pada log 5 tersebut, karena di dalam soal yang diberi keterangan adalah log 2 dan log 3, sedangkan log 5 tidak diberi keterangan apapun.


Untuk itu, trik yang perlu dilakukan di sini adalah :

→ 5 =


Bilangan 5 tersebut perlu kita ubah ke dalam suatu bilangan yang mengandung unsur bilangan 2 dan nilainya tidak berubah ( tetap bernilai 5 ). Sehingga, jika kita selesaikan, akan menjadi :


log 75  = log 3 + 2 . log  → tentu masih ingat sifat  alog  = alog b – alog c, kan?

= log 3 + 2 ( log 10 – log 2 ) → log 10 = 10log 10 = 1 → alog a = 1

= 0,4771 + 2 ( 1 – 0,3010 )

= 1,8751          ( E )


Soal 4

Diketahui 2log 3 = 1,6 dan 2log 5 = 2,3; nilai dari 2log ..


  1. 10,1
  2. 6,9
  3. 5,4
  4. 3,2
  5. 3,7

Pembahasan :

Sedikit mirip dengan soal sebelumnya, dengan mengetahui ada keterangan di dalam soal mengenai nilai dari sebuah logaritma suatu bilangan, maka yang perlu kita lakukan adalah dengan mengubahnya ke dalam bentuk yang mengandung unsur bilangan yang sesuai dengan keterangan tersebut.


→ 125 = 5 . 5 . 5 =

→ 9 =


Sehingga, jika kita selesaikan soal tersebut, akan menjadi :

2log  = 2log    → bisa ditebak kan? Di sini kita perlu sifat : alog  = alog b – alog c

= 2log  – 2log


Kemudian, sifat logaritma yang kita gunakan berikutnya adalah sifat :

alog  = n .  alog b


maka, persamaan di atas selanjutnya akan menjadi :

= 3 . 2log 5 – 2 . 2log 3

= 3 . ( 2,3 ) – 2. ( 1,6 )

= 6,9 – 3,2

= 3,7              ( E )


Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Persamaan Logaritma : Rumus, Sifat, Contoh Soal Dan Pembahasannya , semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya