Polinomial : Pengertian, Nilai, Syarat,Pembagian dan Contoh Soal

Polinomial : Pengertian, Nilai, Syarat,Pembagian dan Contoh Soal –  Apa yang di maksud dengan Polinomial ? Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas tentang Polinomial dan hal-hal yang melingkupinya. Mari kita simak artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.

Polinomial : Pengertian, Nilai, Syarat,Pembagian dan Contoh Soal


Polinomial atau  biasa disebut juga sebagai Suku banyak merupakan sebuah bentuk dari suku-suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel serta konstanta. Operasi yang dipakai hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian serta pangkat bilangan bulat tidak negatif.

Adapun bentuk umum dari Polinomial ini, yaitu:

Bentuk Umum Polinomial: an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a

Keterangan:

Dengan an , an-1 , …. , a1 , a€ R koefisien atau konstanta

Polinom an ≠ 0 , serta n adalah bilangan bulat positif.

Pangkat tertinggi dari x merupakan derajat polinomial. Sementara suku yang tidak mengandung variable (a) disebut sebagai suku tetap (konstan).

Suatu polinomial dapat terlihat seperti berikut:
25x2 + 19x – 06

Contoh lain dari bentuk polinomial yaitu:

  • 3x
  • x – 2
  • -6y2 – (½)x
  • 3xyz + 3xy2z – 0.1xz – 200y + 0.5
  • 512v5+ 99w5
  • 5     (Konstanta adalah koefisien yang variabelnya memiliki pangkat 0, sehingga angka adalah polinomial.)

Suatu polinomial dapat mempunyai:

  • Variabel (adalah nilai yang bisa berubah, seperti x, y, z dalam suatu persamaan; boleh mempunyai lebih dari 1 variabel)
  • Koefisien (adalah konstanta yang mendampingi variabel)
  • Konstanta (suatu nilai tetap serta tidak berubah)
  • Eksponen atau pangkat adalah pangkat dari variabel; bisa juga disebut sebagai derajat dari suatu polinomial.

Syarat Polinomial

Terdapat juga beberapa syarat sehingga sebuah persamaan bisa disebut sebagai ‘polinomial’, diantaranya ialah sebagai berikut:

  • Variabel tidak boleh mempunyai pangkat pecahan atau negatif.
  • Variabel tidak boleh masuk dalam sebuah persamaan trigonometri.

Polinomial dan Bukan Polinomial

Berikut adalah beberapa bentuk yang tidak termasuk ke dalam bentuk polinomial, diantaranya ialah sebagai berikut:

  • 3xy-2  ,sebab pangkatnya negatif. Eksponen atau pangkat hanya boleh {0,1,2…}.
  • 2/(x+2) ,sebab membagi dengan variabel tidak diperkenankan (pangkat penyebut yaitu negatif).
  • 1/x ,sebab alasan yang sama ^.
  • √x ,sebab akar merupakan pangkat pecahan, yang tidak diperkenankan.
  • x cos x ,sebab terdapat variabel x dalam fungsi trigonometri

Berikut adalah hal yang diperbolehkan atau termasuk dalam bentuk polinomial, perhatikan baik-baik:

  • x/2 dibolehkan, sebab boleh membagi dengan konstanta.
  • √x boleh, sebab setelah dijabarkan hasilnya tidak terdapat pangkat pecahan.
  • √2 boleh sebab yang diakar merupakan konstanta, bukan variabel.
  • ½ x5 – (cos∏)x– (tan 60°)x – 1 boleh sebab fungsi trigonometri merupakan konstanta, serta tidak terdapat variabel di dalamnya

Nilai Polinomial

Nilai polinomial f(x) untuk x=k atau f(k) dapat kita cari dengan menggunakan metode substitusi atau dengan skema Horner. Berikut rinciannya:

Cara subtitusi:
Dengan mensubtitusikan x = k ke dalam polinomial, sehingga akan menjadi:

f(x) = an kn + an-1 kn-1 + . . . + a1 k + a

  • Cara skema horner:
    Sebagai contoh:
    (f(k) = x3 + bx2 + cx + d maka: f(k) = ak3 + bk2 + ck + d
    xa3 + bx2 + cx + d = (ak2 + bk + c)k+d
    = ((ak + b)k + c)k+d

Pembagian Polinomial

Secara umum, pembagian dalam polinomial dapat dituliskan seperti di bawah ini:

Baca Juga:  Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Rumus: f(x) = g(x) h(x) + s(x)

Keterangan:

  • f(x) merupakan suku banyak yang dibagi.
  • g(x) merupakan suku banyak pembagi.
  • h(x) merupakan suku banyak hasil bagi.
  • s (x) merupakan suku banyak sisa.

Sebelum kita memahami metode pembagian polinomial, terlebih dahulu kita harus mengetahui tentang teorema sisa yaitu

Misalkan F(x) merupakan polinomial berderajat n,

Jika F(x) dibagi (x-k) maka hasilnya adalah F(k)

Jika F(x) dibagi (ax-b) maka hasilnya adalah F(b/a)

Jika F(x) dibagi (x-a)(x-b) maka hasilnya adalah :

Metode Pembagian Biasa

Contohnya adalah jika 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan 2x2 – x – 1

maka hasil bagi dan sisanya adalah hasil bagi = x-1 dan sisa = x+4

Metode Pembagian Horner

Pembagian suku banyak atau polinomial f(x) oleh (x-k) bisa kita lakukan dengan menggunakan cara atau metode horner.

Cara ini bisa kita pakai untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang bisa difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.

Caranya ialah seabgai berikut:

  • Tulis koefisiennya saja → harus runtut atau urut mulai dari koefisien xn, xn – 1, … sampai konstanta (apabila terdapat variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Sebagai contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya yaitu 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

  • Apabila koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus kita bagi kembali dengan koefisien derajat tertinggi P(x).
  • Apabila pembagi bisa kita difaktorkan, maka:
    • Apabila pembagi bisa difaktorkan menjadi P1 serta P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
    • Apabila pembagi bisa difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
    • Apabila pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
    • dan begitu juga seterusnya.

Metode Koefisien Tak Tentu

Pada dasarnya, metode ini dikerjakan dengan cara mensubstitusikan F(x) berderajat m dan P(x) berderajat n ke dalam bentuk umum pembagian polinomial, kemudian H(x) dan S(x) nya diisi dengan

H(x) merupakan polinomial berderajat k, dimana k = m – n

S(x) merupakan polinomial berderajat n-k


Contoh Soal Polinomial


soal 1.

Diketahui

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5

P(x) =  2x2 – x – 1

Tentukan hasil bagi dan sisanya

Jawab :

F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5

P(x) =  2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

Sehingga p1 : (2x + 1) = 0 -> x = -1/2 dan p2 : (x – 1) = 0 -> x = 1

Kemudian langkah hornernya ditunjukkan pada gambar berikut

Jadi, diperoleh hasil dan sisanya sebagai berikut

H(x) = x-1

S(x) = P1×S2 + S1 = x + 4


Soal 2.

Suku banyak x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 dibagi oleh x² – x -2  sisanya sama dengan …

a.    16x + 8
b.    16x – 8
c.    -8x + 16
d.    -8x – 16
e.    -8x – 24

Jawab:

Diketahi pembaginya yaitu: x² – x -2, sehingga:
x² – x -2= 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 dan x = -1

Baca Juga:  Phytagoras : Sejarah, Rumus Teorema dan Contoh Soal

Ingat rumus: P(x) = H(x)  + (px + q), sehingga sisanya (px + q), maka:

  • x = 2

f(2) = 2p + q
24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = 2p + q
16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q
-32 = 2p + q … (i)

  • x = -1

f(-1) = -p + q
(-1) – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = -p + q
1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q
-8 = -p + q …(ii)

Eliminasikan persamaan (i) serta (ii), menjadi:

-32 =2p +q
-8 =-p +q
-24 =3p
p = -8

Jika kita substitusikan p = –p + q = -8
-(-8) + q = -8
q = -16

Maka , sisanya adalah = p + q = -8x – 16

Jawaban: D

Soal 3.

Diketahui F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 ,P(x) =  2x2 – x – 1

Tentukan hasil bagi dan sisanya menggunakan metode tak tentu

Pembahasan soal :

m = 3, n = 2, k = 1

H(x) berderajat 1 misalkan H(x) = ax+b

S(x) berderajat 2-1=1 misalkan S(x) = px+q

Substitusikan F(x), P(x), H(x), S(x) ke persamaan

F(x) = P(x) . H(x) + S(x), maka diperoleh

2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1)(ax+b) + px+q

2x3 – 3x2 + x + 5 = 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + px + q

(2)x3 + (– 3)x2 + (1)x + (5) = (2a)x3 + (2b– a)x2 + (– b – a + p) x + (– b + q)

Kemudian samakan koefisien dari ruas kiri dan kanan menjadi

2a = 2

a = 1

2b – a = -3

2b – 1 = -3

2b = -2

b = -1

– b – a + p = 1

1 – 1 + p = 1

p = 1

– b + q = 5

1 + q = 5

q = 4

Jadi,

H(x) = ax + b = x – 1

S(x) = px + q = x + 4

Soal 4.

Salah satu faktor dari (2x³ -5x² – px =3) merupakan (x + 1). Faktor lain dari suku banyak tersebut ialah…

a.    (x – 2) dan (x – 3)
b.    (x + 2) dan (2x – 1)
c.    (x + 3) dan (x + 2)
d.    (2x + 1) dan (x – 2)
e.    (2x – 1) dan (x – 3)

Jawab:

Yang merupakan faktornya adalah x + 1 –> x = -1

f(-1) = 0
2(-1)³ – 5(-1)³ – p(-1) + 3 = 0
-2 – 5 + p + 3 = 0
p = 4

Maka, f(x) = 2x³ -5x³ – 4x =3

= (x + 1)(2×2 – 7x + 3)
= (x + 1)(2x – 1)(x – 3)

Sehingga, faktor yang lainnya yaitu (2x – 1) dan juga (x – 3).

Jawaban: E

Polinomial : Pengertian, Nilai, Syarat,Pembagian dan Contoh Soal

Soal 5.

Ada Dua polinomial x³ -4x³ – 5x + m dan x2 -3x – 2 ÷  x + 1 akan memiliki sisa sama, maka nilai 2m + 5 = …

a.    17
b.    18
c.    24
d.    27
e.    30

Jawab:

Misalnya f(x) = x³ -4x2 – 5x + m dan x2 -3x – 2

Jika ÷(x + 1 ) –>  x = -1 akan mempunyai sisa sama, maka:
f(-1) = g(-1)
(-1)³ – 4(-1)2 + 5(-1) + m = (-1)2 + 3(-1) – 2
-1 -4 – 5 + m = 1 – 3 – 2
-10 + m = -4
m = -4 + 10
m = 6

Sehingga, nilai dari 2m + 5 = 2(6) + 5 = 17

Jawaban: A

Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Polinomial , semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya.