Persamaan Kuadrat : Pengertian, Macam, Sifat, Rumus dan Contoh Soal

Persamaan Kuadrat : Pengertian, Macam, Sifat, Rumus dan Contoh Soal – Apa itu persamaan kuadrat dan rumus akarnya ?Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas apakah itu Persamaan kuadrat ,rumus akar dan hal-hal lain yang melingkupinya.Mari kita simak bersama pembahasannya pada artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.

Persamaan Kuadrat : Pengertian, Macam, Sifat, Rumus dan Contoh Soal


Dalam matematika, Kuadrat itu berarti akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.

Persamaan kuadrat yaitu merupakan suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah: Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta a ≠ 0. Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.


Macam-Macam Akar Persamaan Kuadrat

Untuk menentukan macam – macam akar persamaan kuadrat, kita juga dapat menggunakan rumus D = b2 – 4ac. Jika terbentuk nilai D maka kita akan dengan mudah kita menemukan akar – akarnya. Berikut ini beberapa jenis persamaan kuadrat secara umum :

  • Akar Real ( D ≥ 0 )

»Akar real berlainan bila = D > 0

Contoh :

Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

x2 + 4x + 2 = 0 !

Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

a = 1
b = 4
c = 2

Jawab :

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(2)
D = 16 – 8
D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )

»Akar real sama x1 = x2 bila D = 0

Contoh :
Buktikan bahwa persamaan berikut ini memiliki akar real kembar :

2×2 + 4x + 2 = 0

Penyelesaian :
Dari persamaan = 2×2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

Baca Juga:  Vektor : Pengertian, Materi, Rumus dan Contoh Soal

a = 2
b = 4
c = 2

Jawab :

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(2)(2)
D = 16 – 16
D = 0 ( D=0, terbukti bahwa akar real dan kembar )

  • Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

x2 + 2x + 4 = 0 !

Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 2x + 4 = 0

Diketahui :

a = 1
b = 2
c = 4

Jawab :

D = b2 – 4ac
D = 22 – 4(1)(4)
D = 4 – 16
D = -12 ( D<0, maka akar-akarnya adalah tidak real )

  •  Akar Rasional ( D = k2 )

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

x2 + 4x + 3 = 0

Penyelesaian :

Dari Persamaan = x2 + 4x + 3 = 0

Diketahui :

a = 1
b = 4
c = 3

Jawab :

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(3)
D = 16 – 12
D = 4 = 22 = k2 ( Karena D=k2=4 maka akar persamaan adalah akar rasional )


Rumus Metode Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0. Diskriminan dapat ditentukan dengan D = b2 – 4ac.

  • Jika nilai D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real).
  • Jika nilai D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar sama (kembar).
  • Jika nilai D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata (mempunyai akar imajiner).

Terdapat 3 metode untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat:

  • Metode Pemfaktoran

Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0.

Penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran, hasil akhir pemfaktoran berbentuk a(x – x1)(x – x2) = 0.

Pada bentuk tersebut, x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat.

  • Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Penyelesaian akar-akar persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c dengan melengkapkan kuadrat sempurna dapat dilakukan dengan mengubahnya menjadi bentuk (x + p)2 = q.

Setelah itu, dapat diselesaikan dengan (x + p) = √q dan -(x + p) = √q.

  • Metode Rumus ABC

Rumus ABC dituliskan sebagai berikut.

Bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0.


Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat juga mempunyai beberapa jenis – jenisnya, yaitu sebagai berikut :

Akar – akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu :

  • Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan.
    • Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
    • Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya irasional.
  • Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional.
  • Jika D < O, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).
Baca Juga:  Contoh Bangun Datar : Jenis, Sifat dan Rumus Bangun Datar

Bentuk perluasan untuk akar – akar real :

  • Kedua Akar Positif :
    • D ≥ 0
    • x1 + x2 > 0
    • x1 x2 > 0
  • Kedua Akar Negatif :
    • D ≥ 0
    • x1 + x2 < 0
    • x1 x2 > 0
  • Kedua Akar Berlainan Tanda :
    • D > 0
    • x1 x2 < 0
  • Kedua Akar Bertanda Sama :
    • D ≥ 0
    • x1 x2 > 0
  • Kedua Akar Saling Berlawanan :
    • D > 0
    • x1 + x2 = 0 (b = 0)
    • x1 x2 < 0
  • Kedua Akar Saling Berkebalikan :
    • D > 0
    • x1 + x2 = 1 (c = a)

Persamaan Kuadrat : Pengertian, Macam, Sifat, Rumus dan Contoh Soal

Contoh Soal Akar Persamaan Kuadrat

1.Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

x2 + 4x + 2 = 0 !

Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

a = 1
b = 4
c = 2

Jawab :

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(2)
D = 16 – 8
D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )

2. Terdapat persamaan kuadrat 2×2 – 2x – 12 = 0. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut menggunakan metode pemfaktoran, metode melengkapkan kuadrat dan menggunakan rumus ABC.
Pembahasan

  • Metode pemfaktoran

2×2 – 2x – 12 = 0

2(x2 – x – 6) = 0

2×2 – 2x – 12 = 0

2(x – 3)(x + 2) = 0

x – 3 = 0 atau x + 2 = 0

x = 3 atau x = -2

Akar-akar persamaan kuadrat: 3 dan -2

  • Metode melengkapkan kuadrat sempurna

 

 

 

 

 

 

 

  • Menggunakan rumus ABC

 

 

 

 

 

Akar-akar persamaan kuadrat: 3 dan -2.

Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Persamaan Kuadrat , semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya.