Turunan Fungsi Aljabar : Rumus, Aplikasi, Notasi, Perkalian Pembagian Dua Fungsi dan Contoh Soal

Turunan Fungsi Aljabar : Rumus, Aplikasi, Notasi, Perkalian Pembagian Dua Fungsi dan Contoh Soal

Turunan Fungsi Aljabar : Rumus, Aplikasi, Notasi, Perkalian Pembagian Dua Fungsi dan Contoh Soal – Apakah kamu mengerti apa yang di maksud dengan Turunan Fungsi Aljabar ? Pada kesempatan kali ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas tentang Turunan fungsi aljabar beserta hal-hal yang melingkupinya. Mari kita simak pembahasannya pada artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.

Turunan Fungsi Aljabar : Rumus, Aplikasi, Notasi, Perkalian Pembagian Dua Fungsi dan Contoh Soal

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Seperti yang telah kita sebutkan di atas, Turunan Fungsi atau yang disebut juga sebagai diferensial merupakan suatu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya.

Contohnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai yang tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan pada waktu yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika sekaligus Fisika berkebangsaan inggris yang bernama Sir Isaac Newton (1642 – 1727). Serta oleh seorang ahli matematika berbangsa Jerman yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Turunan atau diferensial dipakai sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalah yang dijumpai di dalam bidang geometri dan mekanika.

Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali dimanfaatkan di dalam berbagai bidang keilmuan.

Sebut saja dalam bidang ekonomi: yang dipakai guna menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.

Pada bidang biologi: dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan organisme.

Pada bidang fisika: di pakai untuk menghitung kepadatan kawat.

Pada bidangkimia: dipakai untuk menghitung laju pemisahan.

Serta pada bidang geografi dan juga sosiologi: yang dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk serta masih banyak lagi.

Proses dalam menemukan suatu turunan disebut sebagai diferensiasi. Serta kebalikan dari suatu turunan disebut seabgai Anti Turunan. 

Teorema atau pernyataan fundamental kalkulus menyebutkan bahwa antiturunan merupakan sama dengan integrasi.

Turunan dan juga integral merupakan 2 buah fungsi penting yang ada di dalam kalkulus.

  • (in x)’
  • (sin x)’ = cos x
  • (cos x)’ = -sin x
  • (tan x) = sec2 x
  • y’ merupakan simbol untuk turunan pertama.
  • y” merupakan simbol untuk turunan kedua.
  • y”’ merupakan simbol untuk turunan ketiga.

Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan \frac{dy}{dx} atau  \frac{df(x)}{dx} atau y’ dan didefinisikan sebagai:

Beberapa aturan dalam turunan fungsi antara lain:

  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat berlaku jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai berlaku jika ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat f(x) = x^n, hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi  f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, dan pangkat dari fungsi f(x) = (u(x))^n.

  • Rumus turunan fungsi pangkat

f(x) = x^n

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}

= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}

= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}

= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})

= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}

  • Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah:

  • f'(x ) = nx^{n-1}

  • Rumus turunan hasil kali fungsi

f(x) = u(x) \cdot v(x)

Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan:

f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}

\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}

=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}

= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)

= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)

u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

f'(x)=u'v+uv'

  • Rumus turunan fungsi pembagian

f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}

sehingga

f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}

=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}

= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}

=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}

= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)

=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}

Jadi rumus turunan fungsinya adalah

f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}

  • Rumus turunan pangkat dari fungsi

f(x)=(u(x))^n

Ingat jika f(x) = x^n, maka:

f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1

Karena f(x) = (u(x))^n=u^n, maka:

f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}

Atau

f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'

Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi dari turunan, maka bisa kita dapatkan beberapa rumus turunan trigonometri yaitu sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), antara lain: y’ =

  1. y = sin x→ y’ = cos x
  2. y = cos x → y’ = -sin x
  3. y = tan x → y’ = sec2 x
  4. y = cot x → y’ =  -csc2 x
  5. y = sec x → y’
  6. y = csc x → y’ = csc × cot x
  7. y = sinn  xy’ = n sinn-1 × cos x
  8. y = cosn  x → y’ = -n cosn-1 × sin x
  9. y = sin u → y’ = u’ cos u
  10. y = cos u → y’ = u’ sin u
  11. y = tan u → y’ = ui sec2 u
  12. y = cot u → y’ = -u’ csc2 u
  13. y = sec u → y’ = u’ sec u tan u
  14. y = csc u → y’ = u’ csc u cot u
  15. y = sinn  u → y’ = n.u’ sinn-1 cos u
  16. y = cosn u → y’ = -n.u’  cosn-1 . sin u

Aplikasi Turunan

  • Menentukan gradien garis singgung suatu kurva

Gradien garis singgung (m) pada suatu kurva y = f(x) dirumuskan sebagai:

m = y' = f'(x)

Persamaan garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik singgung (x_1, y_1) dirumuskan sebagai:

y - y_1 = m(x - x_1) \rightarrow m = f'(x_1)

  • Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun

    • Syarat interval fungsi naik \rightarrow f'(x) > 0
    • Syarat interval fungsi turun \rightarrow f'(x) < 0

  • Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya

Jika fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'(x) = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = f(x) dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.

    • Nilai maksimum \rightarrow f'(x) = 0 dan \rightarrow f"(x) < 0

Jika f'(x_1) = 0 dan f'(x_1) < 0, maka f'(x_1) adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) dan titik (x_1 f(x)) adalah titik balik maksimum dari kurva y = f(x).

    • Nilai minimum \rightarrow f'(x) = 0 dan f"(x) > 0

Jika f'(x_1) = 0 dan f'(x_1) > 0 , maka f(x_1) adalah nilai balik minimum dari fungsi  y = f(x) dan titik (x_1f(x)) adalah titik balik minimum dari kurva y = f(x).

    • Nilai belok \rightarrow f'(x) = 0 dan f"(x) = 0

Jika f'(x_1) = 0 dan f''(x_1 = 0), maka f(x_1) adalah nilai belok dari fungsi y = f(x) dan titik (x_1f(x)) adalah titik belok dari kurva y = f(x).

  • Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu \frac{0}{0} atau  \frac{\infty}{\infty}

Jika \lim \limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} merupakan limit berbentuk tak tentu  \frac{0}{0} atau \frac{\infty}{\infty}, maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f(x) dan g(x) masing-masing diturunkan.

\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}

Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f(x) dan f(x) diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital.

  • Menentukan rumus kecepatan dan percepatan

Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = f(t), maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu:

    • Rumus kecepatan \rightarrow v = s' = f'(t)
    • Rumus percepatan \rightarrow a = s' = f"(t)

Notasi Turunan

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh:

Rumus Turunan Fungsi Pangkat

dengan syarat limitnya ada.

Turunan pertama fungsi y = f(x) pada x bisa kita notasikan seperti berikut ini:

  • y’ = f’x ⇒ lagrange
  • notasi turunan ⇒ leibniz
  • Dxy = Dx[f(x)]⇒ euler

Dari definisi di atas bisa kita turunkan beberapa rumus turunan seperti di bawah ini:

  • f(x) = k  ⇒  f ‘(x) = 0
  • f(x) = k x  ⇒  f ‘(x) = k
  • f(x) = xn ⇒ f ‘(x) = nxn-1
  • f(x) = k u(x)  ⇒ f ‘(x) = k u'(x)
  • f(x) = u(x) ± v(x)  ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

dengan k = konstan

Perhatikan beberapa contoh berikut ini:

  • f(x) = 5  ⇒  f ‘(x) = 0
  • f(x) = 2x  ⇒  f ‘(x) = 2
  • f(x) = x2 ⇒  f ‘(x) = 2x2-1 = 2x
  • y = 2x4  ⇒  y’ = 2. 4x4-1 = 8x3
  • y = 2x4 + x2 − 2x  ⇒  y’ = 8x3 + 2x − 2

Untuk mencari turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah pertama yang harus kita lakukan yaitu merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).

Berikut terdapat beberapa sifat akar dan pangkat yang sering dipakai, atara lain:

  • xm . xn = xm+n
  • xm/xn = xm-n
  • 1/xn = x-n
  • √x = x1/2
  • n√xm = xm/n

Contoh:

Soal 1.

Tentukan turunan dari f(x) = x√x

Jawab:

f(x) = x√x = x. x1/2 = x3/2

f(x) = x3/2 →

contoh1

Soal 2.

Tentukan turunan dari 2

Jawab:

jawab 2

Turunan Fungsi Aljabar : Rumus, Aplikasi, Notasi, Perkalian Pembagian Dua Fungsi dan Contoh Soal

Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi

Misalkan y = uv, maka turunan dari y bisa dinyatakan sebagai:

y’ = u’v + uv’

Misalkan y = u/v, maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai:

turunan

Contoh Soal.

Soal 1.

Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x2 + 2) yaitu:

Jawab:

Misalkan:

u = 2x + 3 ⇒ u’ = 2
v = x2 + 2 ⇒ v’ = 2x

f ‘(x) = u’ v + u v’
f ‘(x) = 2(x2 + 2) + (2x + 3) 2x
f ‘(x) = 2x2 + 4 + 4x2 + 6x
f ‘(x) = 6x2 + 6x + 4

Aturan Rantai

Jika y = f(u), dengan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka turunan y terhadap x dapat dinyatakan dalam bentuk :
Dari konsep aturan rantai diatas, maka  untuk y = un, akan diperoleh :

Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :
Jika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka :

 

Dari konsep aturan rantai di atas, maka  untuk y = un, akan didapatkan:

 

Secara umum bisa dinyatakan seperti berikut ini:

Apabila f(x) = [u(x)]n dengan u(x) merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka:

f'(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)

Contoh Soal.Soal 1.

Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)4

Jawab:

Misalnya:

u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
n = 4
f ‘(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)
f ‘(x) = 4(2x + 1)4-1 . 2
f ‘(x) = 8(2x + 1)3 

Soal 2.

Tentukan turunan dari y = (x2 − 3x)7

Jawab :

y’ = 7(x2 − 3x)7-1 . (2x − 3)
y’ = (14x − 21) . (x2 − 3x)6

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1

Turunan pertama dari f(x) = 4 \sqrt{2x^3 - 1} adalah

Pembahasan 1:

Soal ini merupakan fungsi yang berbentuk y = au^n yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus y' = n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'. Maka:

f(x) = 4 \sqrt{2x^3-1} = 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}

Sehingga turunannya:

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2

=2(2x^3-1) \cdot 6x^2

= 12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}

= \frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}

=\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}

Soal 2

Tentukan turunan pertama dari

f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}

Pembahasan 2:

Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu  f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2} dan juga  y' = n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u . Sehingga:

f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}

f(x) = \frac{6}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}

f'(x) = \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}

f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos(3x-\frac{\pi}{5})}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{1}{3}}}

f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5}})}

f'(x) = \frac{-6cot(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}

Soal 3

Tentukan nilai maksimum dari  f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x pada interval -1 ≤ x ≤ 3.

Pembahasan 3:

Ingat syarat nilai fungsi f(x) maksimum adalah f'(x) = 0 dan  f"(x) < 0 maka:

  • f_{max} jika f'(x) = 0

3x^2 - 12x + 9 = 0

x^2 - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

dan  x_1 = 1 dan x_2 = 3

f_{max} = f(1) = 1^3 - 6.1^2 + 9.1

f_{max} = 4

Soal 4.

Turunan dari f(x) = (x – 1)2(2x + 3) adalah…

Jawab:

Misalkan:

u = (x − 1)2  ⇒ u’ = 2x − 2
v = 2x + 3    ⇒ v’ = 2

f ‘(x) = u’v + uv’
f ‘(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)2. 2
f ‘(x) = 4x2 + 2x − 6 + 2(x2 − 2x + 1)
f ‘(x) = 4x2 + 2x − 6 + 2x2 − 4x + 2
f ‘(x) = 6x2 − 2x − 4
f ‘(x) = (x − 1)(6x + 4)  atau
f ‘(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Soal 5.

Apabila f(x) = x² – (1/x) + 1, maka f'(x) = . . . .

A. x – x²
B. x + x²
C. 2x – x-2 + 1
D. 2x – x2 – 1
E. 2x + x-2

Jawab:

f(x)  = x2 – (1/x) + 1

        = x2 – x-1 + 1
f'(x) = 2x -(-1)x-1-1
        = 2x + x-2

Jawabannya: E

Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Turunan Fungsi Aljabar , semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya

Daftar Isi

Rekomendasi: