Persamaan Kuadrat : Pengertian, Macam, Sifat, Rumus dan Contoh Soal – Apa itu persamaan kuadrat dan rumus akarnya ?Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas apakah itu Persamaan kuadrat ,rumus akar dan hal-hal lain yang melingkupinya.Mari kita simak bersama pembahasannya pada artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.
Persamaan Kuadrat : Pengertian, Macam, Sifat, Rumus dan Contoh Soal
Dalam matematika, Kuadrat itu berarti akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.
Persamaan kuadrat yaitu merupakan suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah: Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta a ≠ 0. Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.
Macam-Macam Akar Persamaan Kuadrat
Untuk menentukan macam – macam akar persamaan kuadrat, kita juga dapat menggunakan rumus D = b2 – 4ac. Jika terbentuk nilai D maka kita akan dengan mudah kita menemukan akar – akarnya. Berikut ini beberapa jenis persamaan kuadrat secara umum :
-
Akar Real ( D ≥ 0 )
»Akar real berlainan bila = D > 0
Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
x2 + 4x + 2 = 0 !
Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0
Diketahui :
a = 1
b = 4
c = 2
Jawab :
D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(2)
D = 16 – 8
D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )
»Akar real sama x1 = x2 bila D = 0
Contoh :
Buktikan bahwa persamaan berikut ini memiliki akar real kembar :
2×2 + 4x + 2 = 0
Penyelesaian :
Dari persamaan = 2×2 + 4x + 2 = 0
Diketahui :
a = 2
b = 4
c = 2
Jawab :
D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(2)(2)
D = 16 – 16
D = 0 ( D=0, terbukti bahwa akar real dan kembar )
-
Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )
Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
x2 + 2x + 4 = 0 !
Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 2x + 4 = 0
Diketahui :
a = 1
b = 2
c = 4
Jawab :
D = b2 – 4ac
D = 22 – 4(1)(4)
D = 4 – 16
D = -12 ( D<0, maka akar-akarnya adalah tidak real )
-
Akar Rasional ( D = k2 )
Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
x2 + 4x + 3 = 0
Penyelesaian :
Dari Persamaan = x2 + 4x + 3 = 0
Diketahui :
a = 1
b = 4
c = 3
Jawab :
D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(3)
D = 16 – 12
D = 4 = 22 = k2 ( Karena D=k2=4 maka akar persamaan adalah akar rasional )
Rumus Metode Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0. Diskriminan dapat ditentukan dengan D = b2 – 4ac.
- Jika nilai D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real).
- Jika nilai D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar sama (kembar).
- Jika nilai D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata (mempunyai akar imajiner).
Terdapat 3 metode untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat:
-
Metode Pemfaktoran
Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0.
Penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran, hasil akhir pemfaktoran berbentuk a(x – x1)(x – x2) = 0.
Pada bentuk tersebut, x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat.
-
Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Penyelesaian akar-akar persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c dengan melengkapkan kuadrat sempurna dapat dilakukan dengan mengubahnya menjadi bentuk (x + p)2 = q.
Setelah itu, dapat diselesaikan dengan (x + p) = √q dan -(x + p) = √q.
-
Metode Rumus ABC
Rumus ABC dituliskan sebagai berikut.
Bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0.
Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat juga mempunyai beberapa jenis – jenisnya, yaitu sebagai berikut :
Akar – akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu :
- Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan.
- Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
- Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya irasional.
- Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional.
- Jika D < O, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).
Bentuk perluasan untuk akar – akar real :
- Kedua Akar Positif :
- D ≥ 0
- x1 + x2 > 0
- x1 x2 > 0
- Kedua Akar Negatif :
- D ≥ 0
- x1 + x2 < 0
- x1 x2 > 0
- Kedua Akar Berlainan Tanda :
- D > 0
- x1 x2 < 0
- Kedua Akar Bertanda Sama :
- D ≥ 0
- x1 x2 > 0
- Kedua Akar Saling Berlawanan :
- D > 0
- x1 + x2 = 0 (b = 0)
- x1 x2 < 0
- Kedua Akar Saling Berkebalikan :
- D > 0
- x1 + x2 = 1 (c = a)
Contoh Soal Akar Persamaan Kuadrat
1.Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :
x2 + 4x + 2 = 0 !
Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0
Diketahui :
a = 1
b = 4
c = 2
Jawab :
D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(2)
D = 16 – 8
D = 8 ( D>8, maka akarnya pun merupakan akar real tapi berbeda )
2. Terdapat persamaan kuadrat 2×2 – 2x – 12 = 0. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut menggunakan metode pemfaktoran, metode melengkapkan kuadrat dan menggunakan rumus ABC.
Pembahasan
- Metode pemfaktoran
2×2 – 2x – 12 = 0
2(x2 – x – 6) = 0
2×2 – 2x – 12 = 0
2(x – 3)(x + 2) = 0
x – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = 3 atau x = -2
Akar-akar persamaan kuadrat: 3 dan -2
- Metode melengkapkan kuadrat sempurna
- Menggunakan rumus ABC
Akar-akar persamaan kuadrat: 3 dan -2.
Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Persamaan Kuadrat , semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya.
Daftar Isi
