√ Pengertian Turunan, Macam, Rumus, & Contoh Soal

Pembahasan mengenai turunan perlu untuk dipelajari. Dengan menggunakan konsep limit yang telah kalian pelajari, kalian akan dengan mudah mempelajari materi turunan berikut.

Definisi Turunan

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai contoh penerapan turunan.

Penerapan Turunan

Berikut merupakan beberapa penerapan turunan.

• Turunan dapat diterapkan untuk menghitung gradien dari garis singgung suatu kurva.
• Turunan dapat digunakan untuk menentukan interval dimana suatu fungsi naik atau turun.
• Turunan dapat diterapkan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
• Turunan dapat diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaaan gerak.
• Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan maksimum-minimum.

Berikut ini akan dijelaskan mengena rumus turunan.

Rumus Turunan

Berikut merupakan beberapa rumus dasar untuk menentukan turunan.

• f(x) = c, dengan c merupakan konstanta

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 0.

• f(x) = x

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 1.

• f(x) = axⁿ

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = anx^{n – 1}

• Penjumlahan fungsi:  h(x) = f(x) + g(x)

Turunan fungsi tersebut yaitu h’(x) = f’(x) + g’(x).

• Pengurangan fungsi: h(x) = f(x) – g(x)

Turunan fungsi tersebut adalah h’(x) = f’(x) – g’(x)

• Perkalian konstanta dengan suatu fungsi (kf)(x).

Turunan fungsi tersebut adalah k . f’(x).

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) = axⁿ. Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = anx^{n – 1}.

Contohnya yaitu:

f(x) = 3x³

turunan dari fungsi tersebut yaitu

f’(x) = 3 (3) x^{3 – 1} = 9 x².

Contoh lainnya misalnya g(x) = -5y^-3.

Turunan dari fungsi tersebut adalah g’(y) = -5 (-3) y^{-3 – 1}  = 15y^-4.

Berikut akan dijelaskan turunan fungsi aljabar.

Turunan Fungsi Aljabar

Pembahasan turunan fungsi aljabar pada bagian ini meliputi turunan dalam bentuk perkalian dan turunan dalam pembagian fungsi aljabar.

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk perkalian yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x) . v(x).

Turunan dari fungsi tersebut yaitu h’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk pembagian yaitu:

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x)/v(x). Turunan dari fungsi tersebut adalah

h’(x) = (u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x))/v²(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan akar.

Turunan Akar

Misalkan terdapat suatu fungsi akar sebagai berikut

Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, terlebih dahulu kita ubah ke dalam bentuk fungsi perpangkatan. Bentuk fungsi perpangkatannya yaitu f(x) = x^a/b.

Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . x^{(a/b) – 1}.

Bagaimana jika fungsi berbentuk seperti ini?

Untuk menentukan turunan fungsi di atas, terlebih dahulu diubah ke bentuk perpangkatan.

f(x) = g(x)^z/b

Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . g(x)^{(a/b) – 1} . g’(x).

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan parsial.

Turunan Parsial

Apa itu turunan parsial? Turunan parsial merupakan suatu turunan dari fungsi peubah banyak terhadap suatu peubah, sedangkan peubah yang lain dipertahankan.

Misalkan terdapat suatu fungsi: f(x, y) = 2xy, turunan parsial dari fungsi tersebut terhadap variabel x yaitu f_x’(x, y) = 2y.

Turunan parsial terhadap variable y yaitu f_y’(x, y) = -6xy.

Berikutnya akan dijelaskan mengenai turunan implisit.

Turunan Implisit

Turunan implisit ditentukan berdasarkan variabel yang terdapat dalam fungsi.

Suatu fungsi dengan variabel x, turunannya : x d/dx.

Suatu fungsi dengan variabel y, turunannya : y d/dy. dy/dx.

Suatu fungsi dengan variabel x dan y, turunannya : xy d/dx + xy d/dy . dy/dx.

Contoh lainnya yaitu, terdapat fungsi g(x, y) = -3xy²

Agar lebih memaham mengenai turunan, coba kerjakan soal berikut kemudian periksalah jawaban kalian dengan menggunakan pembahasan pada bagian di bawah ini.

Contoh Soal Turunan

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

• f(x) = 8
• g(x) = 3x + 5
• h(x) = 6x³
• k(x) = 3x^5/3
• m(x) = (3x² + 3)⁴