Kaidah Pencacahan : Aturan Pengisian Tempat, Permutasi, Kombinasi

Kaidah Pencacahan : Aturan Pengisian Tempat, Permutasi, Kombinasi – Apa yang di maksud dengan Kaidah Pencacahan ?Pada kesempatan ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas tentang Kaidah Pencacahan dan hal-hal yang melingkupinya. Mari kita simak bersama pembahasannya pada artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.

Kaidah Pencacahan : Aturan Pengisian Tempat, Permutasi, Kombinasi

---

Kaidah pencacahan merupakan sebuah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Disebut sebagai pencacahan sebab hasilnya berwujud suatu bilangan cacah.

Kaidah pencacahan (Counting Rules) didefinisikan sebagai suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah pencacahan di antaranya : metode aturan pengisian tempat (Filling Slots), metode permutasi dan metode kombinasi.

---

Aturan Pengisian Tempat

Permasalahan :

Anton mempunyai 3 kaos yang berwarna putih, merah dan biru serta mempunyai 2 celana panjang yang berwarna hitam dan cokelat. Tentukan kemungkinan – kemungkinan Anton memakai kaos dan celana panjang!

Penyelesaian :

Terdapat 3 cara untuk menentukan kemungkinan – kemungkinan Anton memakai kaos dan celana panjang.

• • Himpunan pasangan terurut

{(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat), (Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)}

Dari ketiga cara di atas, dapat disimpulkan banyak cara Anton memakai kaos dan celana
panjang = 6 cara = 3 × 2 = banyak cara memakai kaos × banyak cara memakai celana
panjang.

• Aturan Perkalian
  

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n tahap yang saling berurutan di mana tahap 1 dapat terjadi dalam q₁ cara, tahap 2 dapat terjadi dalam q₂ cara, tahap 3 dapat terjadi dalam q₃ cara demikian seterusnya sampai tahap ke – n dapat terjadi dalam q_n cara maka kejadian tersebut dapat terjadi secara berurutan dalam q₁ × q₂ × q₃ × … × q_n cara berbeda.

Contoh :

Berapa banyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara dari 8 orang siswa?

Penyelesaian :

Tertapat 3 tempat untuk mengisi posisi ketua, sekretaris dan bendahara sebagai berikut :

       Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

Dari 8 siswa tersebut, semuanya berhak dipilih menjadi ketua sehingga ada 8 cara untuk mengisi posisi ketua. Karena 1 orang sudah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yang berhak dipilih menjadi sekretaris sehingga ada 7 cara untuk mengisi posisi sekretaris. Karena 1 orang sudah menjadi ketua dan 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6 orang yang berhak dipilih menjadi bendahara sehingga ada 6 cara untuk mengisi bendahara.

8

7

6

       Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

Banyak cara memilih 3 pengurus OSIS tersebut adalah 8 × 7 × 6 = 336

• Aturan Penjumlahan

Misalkan suatu kejadian dapat terjadi dalam n cara yang berlainan (saling asing) dimana dalam cara pertama terdapat p₁ kemungkinan hasil yang berbeda, dalam cara kedua terdapat p₂ kemungkinan hasil yang berbeda, dalam cara ketiga terdapat p₃ kemungkinan hasil yang berbeda demikian seterusnya sampai cara yang ke – n terdapat p_n kemungkinan hasil yang berbeda maka total banyak kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut adalah p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n cara berbeda.

Contoh :

Hendro seorang pelajar SMK. Hendro mempunyai tiga jenis alat transportasi dari rumah ke sekolah yaitu sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) dan mobil (sedan, kijang, pick-up). Berapa banyak cara Hendro berangkat dari rumah ke sekolah?

Penyelesaian :

Alat transportasi yang digunakan Hendro dari rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yaitu sepeda atau sepeda motor atau mobil, tidak mungkin dia menggunakan lebih dari satu kendaraan dalam waktu yang bersamaan. Banyak cara Hendro berangkat dari rumah ke sekolah adalah banyak cara memakai sepeda + banyak cara memakai sepeda motor + banyak cara memakai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 cara.

• Notasi Faktorial

Misalkan n Î himpunan bilangan asli. Notasi n! (dibaca : n faktorial) didefinisikan hasil kali bilangan – bilangan asli berurutan dari n sampai 1.

Ditulis n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1.

Didefinisikan 1! = 1 dan 0! = 1.

Contoh :

1. Tentukan nilai dari 5!.

Penyelesaian :

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

1. Tentukan nilai dari 2! + 3!.

Penyelesaian :

2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12

---

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan merperhatikan urutannya. “Memperhatikan urutannya” maksudnya susunan AB dan BA dianggap kejadian yang berbeda. Sebagai contoh, di dalam suatu kelas telah terpilih 3 calon untuk menduduki jabatan ketua, sekretaris dan bendahara. Ketiga calon terpilih tersebut adalah A, B dan C. Kemungkinan susunan kepengurusan kelas tersebut adalah sebagai berikut :

Ada 6 susunan kepengurusan yang mungkin.

Macam – macam permutasi :

• Permutasi n unsur dari n unsur berbeda

Banyak cara untuk menyusun n unsur yang diambil dari n unsur dengan memperhatikan urutannya dinyatakan dengan P(n,n) atau nPn yang dirumuskan sebagai berikut :

P(n,n) = n!

Contoh 1 :

Dari 4 calon pengurus OSIS, berapa kemungkinan susunan yang dapat dibentuk untuk menentukan sekaligus ketua, wakil ketua, bendahara dan sekretaris.

penyelesaian :

Susunan calon pengurus OSIS yang terbentuk adalah P(4,4) = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Contoh 2 :

Tentukan susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “ LUANG” jika susunan huruf tersebut terdiri atas lima huruf berbeda.

Penyelesaian :

Susunan huruf yang mungkin adalah P(5,5) = 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

• Permutasi k unsur dari n unsur berbeda (k ≤ n)

Banyak cara untuk menyusun k unsur yang diambil dari n unsur dengan memperhatikan dinyatakan dengan P(n,k) atau nPk yang dirumuskan sebagai berikut :

Contoh 1 :

Tentukan banyaknya kemungkinan dalam pemilihan ketua kelas dan wakil ketua kelas jika ada 6 orang calon.

Penyelesaian :

Banyak kemungkinan = P(6,2) = 30

Contoh 2 :

Dari huruf – huruf A, B, C, D, E, F, tentukan susunan huruf yang terdiri dari 3 huruf berbeda.

Penyelesaian :

Banyak susunan huruf = P(6,3) = 120

• Permutasi dengan beberapa unsur sama.

Jika dari n unsur yang tersedia terdapat n₁ unsur sama, n₂ unsur sama dan seterusnya maka banyak permutasi adalah

Contoh :

Tentukan banyak susunan huruf berbeda pada kata AKUNTAN

Penyelesaian :

Banyak huruf (n) = 7, banyak huruf A = 2, banyak huruf N = 2

• Permutasi siklis

Amati gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebut? Jelaskan!
Permutasi siklis adalah suatu cara untuk menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis atau melingkar dengan memperhatikan urutannya. Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah : P = (n – 1)!

Contoh :

Dalam suatu pertemuan, ada 8 peserta akan menempati 8 kursi yang mengelilingi meja bundar. Berapa banyak susunan yang mungkin terjadi?

Penyelesaian :

Banyak susunan yang mungkin terjadi = (8 – 1)! = 7! = 5040.

• Permutasi berulang

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang adalah P = n^r

Contoh :

Berapa banyak susunan 3 huruf yang diambil dari huruf – huruf K, A, M, I dan S jika unsur – unsur yang tersedia boleh ditulis berulang.

Penyeleaian :

Banyak susunannya = 5³ = 125.

Kombinasi

Kombinasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek (setiap objek berbeda) yang diambil sebagian atau seluruhnya tanpa memperhatikan urutannya / secara acak atau secara random. Sebagai contoh, jika dalam lemari es berisi tape, nanas dan kolang – kaling maka cara si penjual es dalam memasukkan isi es ke dalam gelas dapat berupa (tape, nanas, kolang – kaling), (tape, kolang – kaling, nanas), (nanas, tape, kolang – kaling), (nanas, kolang – kaling, tape), (nanas, kolang – kaling, tape), (kolang – kaling, nanas, tape) dan (kolang – kaling, tape, nanas). Bagaimanapun cara memasukkan isi es tersebut ke dalam gelas, hasilnya akan sama yaitu es kombinasi yang berisi 3 macam tadi. Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia dirumuskan

Contoh 1 :

Ada 12 pemain bola basket yang akan bertanding. Dalam menit – menit pertama akan diturunkan 5 orang. Berapa banyaknya cara yang mungkin terjadi?

Penyelesaian :

Banyak cara yang mungkin terjadi adalah C(n,r) = 792

Contoh 2 :

Tiga bola diambil dari kotak yang berisi 5 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola biru. Tentukan banyak cara pengambilan tiga bola yang terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola biru.

Jawab :

Tersedia 5 bola merah dan akan diambil 2 bola, banyak cara pengambilannya

= C(5,2) = 10.

Tersedia 2 bola biru dan akan diambil 1 bola, banyak cara pengambilannya

= C(2,1) = 2.

Banyak cara pengambilan tiga bola yang terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola biru adalah 10 × 2 = 20.

---

Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Kaidah Pencacahan , semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya